Hàm số bậc hai — Tất cả những gì bạn cần biết

Hàm số bậc hai là một trong những chủ đề nền tảng quan trọng nhất trong đại số. Nếu bạn nắm chắc nó, vô số dạng bài khác sẽ trở nên đơn giản hơn hẳn.

Dạng tổng quát​

Hàm số bậc hai có dạng:

$f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$

Đồ thị của nó là một parabol — mở lên khi $a > 0$, mở xuống khi $a < 0$.

3 dạng biểu diễn quan trọng​

1. Dạng tổng quát (Standard form)​

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Dễ nhận biết hệ số, tìm điểm cắt trục $Oy$ tại $(0, c)$.

2. Dạng đỉnh (Vertex form)​

$f(x) = a(x - h)^2 + k$

Đỉnh parabol tại $V(h, k)$. Dễ nhìn thấy giá trị lớn nhất/nhỏ nhất.

3. Dạng nghiệm (Factored form)​

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$

Dùng khi biết hai nghiệm $x_1, x_2$. Tìm được ngay điểm cắt trục $Ox$.

Những công thức không thể quên​

Hoành độ đỉnh: $x_V = -\frac{b}{2a}$

Tung độ đỉnh: $y_V = f(x_V) = c - \frac{b^2}{4a}$

Biệt thức: $\Delta = b^2 - 4ac$

• $\Delta > 0$: hai nghiệm phân biệt $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
• $\Delta = 0$: nghiệm kép $x = -\dfrac{b}{2a}$
• $\Delta < 0$: vô nghiệm thực

Mẹo vẽ đồ thị nhanh​

Để vẽ parabol chính xác, chỉ cần xác định 5 điểm:

1. Đỉnh $V(h, k)$
2. Điểm cắt trục $Oy$: $(0, c)$
3. Điểm đối xứng với $(0, c)$ qua trục đối xứng
4. Điểm cắt trục $Ox$ (nếu có): $x_1, x_2$

Trục đối xứng là đường thẳng $x = h = -\dfrac{b}{2a}$.

Ứng dụng thực tế​

Hàm số bậc hai mô tả rất nhiều hiện tượng tự nhiên:

• Vật lý: quỹ đạo ném ngang, chuyển động dưới trọng lực
• Kỹ thuật: thiết kế cầu treo, ăng-ten parabol
• Kinh tế: tối ưu hóa doanh thu, tìm điểm hòa vốn

Ví dụ: Một quả bóng được ném lên với vận tốc ban đầu $v_0 = 20$ m/s từ độ cao $h_0 = 1.5$ m. Độ cao theo thời gian:

$h(t) = -5t^2 + 20t + 1.5$

Đỉnh parabol cho biết độ cao cực đại và thời điểm đạt được.

Thực hành cùng MathPal​

Chụp ảnh bài toán hàm số bậc hai lên MathPal — AI sẽ giải từng bước: tìm đỉnh, vẽ đồ thị, giải phương trình bậc hai kèm giải thích rõ ràng.

Thử ngay →